Cantidad económica de la orden: Definición y fórmula

Cantidad Económica de la Orden (EOQ): Definición y fórmula


Por Joannès Vermorel, enero del 2012

La EOQ es la cantidad de la orden pendiente para el reabastecimiento que minimiza los costes de inventario totales. La orden pendiente se desencadena cuando el nivel de inventario llega al punto de reorden. La EOQ se calcula para minimizar una combinación de costes, como el coste de compra (que puede incluir descuentos por volumen), el coste de almacenaje de inventario, el coste de ordenamiento, etc. La optimización de la cantidad de orden es complementaria a la optimización de las existencias de seguridad, que se centra en encontrar el umbral óptimo para desencadenar la reorden.

Modelo y fórmula

La fórmula de EOQ clásica (ver el modelo de Wilson en la sección a continuación) es, básicamente, una compensación entre el coste de ordenamiento (que se supone que es una tarifa plana por orden) y el coste de mantenimiento de inventario. Si bien esta fórmula de 1913 es extremadamente conocida, creemos que es esencialmente una solución escasa para la cadena de suministro moderna. En primer lugar, debido a las órdenes electrónicas (generalmente realizadas a través de EDI), que han disminuido significativamente el coste de la orden. En segundo lugar, porque el principal controlador para la calibración de la orden son las reducciones de precios (es decir, los descuentos por cantidad), de las que no se da cuenta.

Descargar hoja de Excel: eoq-calculator.xlsm (cálculo ilustrado)

Por estas razones, proponemos aquí una variante de la fórmula EOQ que optimiza la compensación de los costes de almacenamiento con los descuentos por volumen. Veamos las variables:
  • $Z$ será la demanda de tiempo de entrega.
  • $H$ será el coste de mantenimiento por unidad durante el tiempo de entrega (1).
  • $\delta$ será la cantidad de inventario delta necesaria para alcanzar el punto de reorden (2).
  • $\mathcal{P}$ será el precio de compra por unidad, una función que depende de la cantidad de la orden $q$.

(1) El alcance de tiempo que se considera aquí es el tiempo de entrega. Así, en lugar de considerar, como es habitual, el coste de mantenimiento anual $H_y$, consideramos $H = \frac{d}{365}H_y$, asumiendo que $d$ es el tiempo de entrega expresado en días.

(2) La cantidad delta debe tener en cuenta tanto las existencias disponibles $q_{hand}$ como las existencias pedidas $q_{order}$, lo que da la relación $\delta = R - q_{hand} - q_{order}$ donde $R$ es el punto de reorden. Intuitivamente, $\delta+1$ es la cantidad mínima que debe ser pedida para poder obtener el nivel de servicio deseado.

Luego, la cantidad óptima de la orden está dada por (el razonamiento se detalla a continuación): $$Q = \underset{q=\delta+1..\infty}{\operatorname{argmin}}\left(\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)\right)$$ Si bien puede parecer complicada, esta función puede calcularse fácilmente con Microsoft Excel, como se ilustra en la hoja proporcionada más arriba.

¿Qué sucede con el coste de la orden?

A primera vista, puede parecer que estuviéramos asumiendo un coste de ordenamiento cero, pero esto no es así. De hecho, el marco que presentamos aquí es relativamente flexible, y el coste de la orden (si existe) puede introducirse en la función de precio $\mathcal{P}$.

Función del coste

Para modelar la función de coste para la cantidad de orden, que tiene en cuenta descuentos por volumen, introduzcamos el punto de reorden $R$. El coste del inventario es la suma del coste de mantenimiento del inventario más el coste de compra, es decir: $$C(q)=\left(R+\frac{q-\delta-1}{2}\right)H+Z\mathcal{P}(q)$$ De hecho, adoptando un punto de vista amortizado sobre el período del tiempo de entrega, la cantidad total a ser ordenada será $Z$ la demanda de tiempo de entrega.

El nivel de inventario varía todo el tiempo, pero si consideramos las reórdenes estrictamente mínimas (es decir, $q=\delta+1$) entonces el nivel promedio de existencias a lo largo del tiempo es igual a $R$ el punto de reorden. Así, dado que estamos considerando una cantidad de orden mayor que $\delta+1$, esas cantidades adicionales ordenadas elevan el nivel de inventario promedio (y también posponen el momento en el que se llegará al próximo punto de reorden).

El $(q-\delta-1)/2$ representa el cambio en el nivel de inventario causado por la reorden asumiendo que la demanda de tiempo de entrega está distribuida uniformemente durante el tiempo de entrega. El factor 1/2 está justificado porque una cantidad de orden aumentada de N solo aumenta el nivel de inventario promedio de N/2.

Minimización de la función de coste

Para minimizar $C(q)$, podemos comenzar aislando la parte que no depende de $q$ con: $$C(q)=RH+\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)$$ Debido a que $RH$ no depende de $q$, optimizar $C(q)$ es igual a optimizar $C^*(q)$ donde: $$C^*(q)=\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)$$ Entonces, en este contexto, debido a que la función de descuento por volumen $\mathcal{P}$ es una función arbitraria, no hay una solución algebraica directa para minimizar esta fórmula. No obstante, esto no implica que esta minimización sea difícil de resolver.

Una minimización simple para $C^*(q)$ consiste en una exploración numérica extensiva (simplista), es decir, el cálculo de la función para un rango más amplio de valores $q$. De hecho, prácticamente ningún comercio necesita cantidades de orden mayores que 1.000.000 unidades, y dejar que un ordenador explore todos los valores de los costes para $q=1..1,000,000$ toma menos de 1 segundo, incluso si los cálculos se realizan en Excel, en un ordenador de escritorio normal.

Sin embargo, en la práctica, este cálculo puede acelerarse significativamente si asumimos que $\mathcal{P}(q)$ es una función estrictamente decreciente, es decir, que el precio por unidad disminuye estrictamente cuando la cantidad de orden aumenta. De hecho, si $\mathcal{P}(q)$ disminuye, entonces podemos comenzar la exploración del valor en $q=\delta+1$ iteraciones y finalmente detenernos cuando se llega a la situación $C^*(q+1)>C^*(q)$.

En la práctica, el precio por unidad raramente aumenta con cantidades; aún así, pueden llegar a observarse algunas irregularidades locales en la curva si se optimizan los envíos de palés, o de cualquier otro contenedor que favorezca ciertas medidas de paquete.

En la hoja de Excel adjunta más arriba, asumimos que el precio por unidad disminuye estrictamente con la cantidad. Si este no fuera el caso, edite la macro EoqVD() para revertir al rango de exploración simplista.

Modelo de Wilson

La fórmula de EOQ más conocida es el Modelo de Wilson, desarrollado en 1913. Esta formula se vale de las siguientes suposiciones:

  • El coste de ordenamiento es plano.
  • La tasa de la demanda es conocida, y se distribuye regularmente a lo largo del año.
  • El tiempo de entrega es fijo.
  • El precio de compra de la unidad es constante, es decir, no hay descuentos disponibles.

Veamos las siguientes variables:

  • $D_y$ sería la cantidad de demanda anual
  • $S$ sería el coste fijo plano por orden (no un coste por unidad, sino el coste asociado a la operación de ordenamiento y envío).
  • $H_y$ sería el coste de almacenaje anual.

Bajos esos supuestos, el EOQ óptimo de Wilson es: $$Q=\sqrt{\frac{2D_yS}{H_y}}$$ En la práctica, le sugerimos que utilice una variante más ajustada localmente (que ahorra tiempo) de esta fórmula, donde $D_y$ se reemplaza por $D$ la tasa de demanda pronosticada para la duración del tiempo de entrega (también conocido como la demanda de tiempo de entrega $Z$ dividida por el tiempo de entrega), y donde $H_y$ se reemplaza por $H$, el coste de mantenimiento por la duración del tiempo de entrega.

Comparación de las dos fórmulas de EOQ

Tanto para los minoristas como para los mayoristas, creemos que nuestra fórmula de EOQ ad hoc presentada al principio de esta página, que enfatiza el los descuentos por volumen, se adapta mejor y, por lo tanto, es más rentable que el modelo de Wilson. Para fabricantes, depende. En particular, si la orden dispara una nueva producción, entonces, de hecho, podría haber un coste de ordenamiento significativo (configuración de la producción) y poco o ningún beneficio en el coste marginal por unidad después. En una situación de este tipo, el modelo de Wilson sería más apropiado.

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