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Quantité de Commande Economique (EOQ), définition et formule

Par Joannès Vermorel, janvier 2012

L’EOQ est la quantité de commande différée pour le réapprovisionnement minimisant l'évaluation des stocks totale. La commande différée est déclenchée lorsque le niveau des stocks atteint le point de réapprovisionnement. L’EOQ est calculée afin de minimiser une combinaison de coûts comme le coût d’achat (pouvant inclure des ristournes), le coût de stockage, le coût de passation de commande, etc. L'optimisation de la quantité de commande est complémentaire à l'optimisation du stock de sécurité tournée vers la découverte du « seuil » optimal de déclenchement d'une commande.

Modèle et formule

La formule de l’EOQ « classique » (voir la section Formule de Wilson ci-dessous) est essentiellement une substituabilité entre le coût de passation de commande, supposé être un frais fixe par commande, et le coût de stockage. Bien que cette formule datant de 1913 soit très connue, nous pensons qu'il s'agit essentiellement d'une « adaptation assez pauvre pour la chaîne logistique moderne ». Premièrement, à cause des commandes électroniques (fréquemment effectuées via EDI) ayant grandement réduit le coût de passation de commande. Deuxièmement, parce que le moteur principal de l’ajustement d’une commande est la « réduction du prix » (ex. ristournes) n'étant pas justifiée.

Téléchargez le tableur Excel : eoq-calculator.xlsm (calcul illustré)

Ainsi, nous proposons ici une variante de la formule de l’EOQ optimisant la substituabilité des coûts de stockage pour des ristournes. Présentons les variables :

• $Z$ étant le stock théorique.
• $H$ étant le « coût de stockage » par unité pendant la durée du délai d’approvisionnement (1).
• $\delta$ étant la quantité de stock delta nécessaire pour atteindre le point de réapprovisionnement (2).
• $\mathcal{P}$ étant le prix d’achat unitaire, une fonction dépendant de la quantité de commande $q$.
  

(1) La durée prise en compte ici est le délai d’approvisionnement. Ainsi, au lieu de prendre en compte le coût de possession "annuel" plus habituel $H_y$, nous prenons en compte $H = \frac{d}{365}H_y$ en supposant que $d$ soit le délai d’approvisionnement exprimé en jours.

(2) La quantité delta doit prendre en compte le stock disponible $q_{hand}$ et le stock commandé $q_{order}$, qui donne la relation $\delta = R - q_{hand} - q_{order}$ où $R$ est le point de réapprovisionnement. Intuitivement, $\delta+1$ est la quantité minimum à commander afin de conserver le taux de service désiré.

Puis, la quantité de commande optimale est donnée par (le raisonnement est détaillé ci-dessous) : $$Q = \underset{q=\delta+1..\infty}{\operatorname{argmin}}\left(\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)\right)$$ Même si elle paraît compliquée, cette fonction peut facilement être calculée avec Microsoft Excel, comme illustré par le tableur fourni ci-dessus.

Qu’en est-il du coût de passation de commande ?

Au premier abord, on pourrait croire que nous supposons un coût de passation de commande de zéro, mais ce n’est tout à fait le cas. En effet, le cadre de travail que nous présentons ici est relativement « expressif », et le coût de passation de commande (si existant) peut être intégré à la fonction de prix $\mathcal{P}$.

Fonction du coût

Afin de modéliser la fonction du coût de la quantité de commande prenant en compte des ristournes, présentons le point de réapprovisionnement $R$. Le coût du stock est la somme du « coût de stockage » du stock plus le « coût d’achat », à savoir : $$C(q)=\left(R+\frac{q-\delta-1}{2}\right)H+Z\mathcal{P}(q)$$ En effet, du point de vue amorti pendant la période de délai d’approvisionnement, la quantité totale à commander sera $Z$ le stock théorique.

Le niveau du stock varie donc constamment, mais pour les réapprovisionnements minimum (ex. $q=\delta+1$), le niveau de stock moyen au fil du temps est égal à $R$ le point de réapprovisionnement. Alors, étant donné que nous nous penchons sur une quantité de commande supérieure à $\delta+1$, ces quantités supplémentaires commandées font augmenter le niveau de stock moyen (et reporte également le prochain point de réapprovisionnement).

Le $(q-\delta-1)/2$ représente le décalage du stock causé par le réapprovisionnement, en supposant que le stock théorique soit équitablement distribué pendant la durée du délai d’approvisionnement. Le facteur ½ est justifié parce qu’une quantité de commande augmentée de N augmente uniquement le niveau de stock moyen de N/2.

Minimisation de la fonction du coût

Afin de minimiser $C(q)$, nous pouvons commencer par isoler la partie qui ne dépend pas de $q$ avec : $$C(q)=RH+\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)$$ Étant donné que $RH$ ne dépend pas de $q$, l’optimisation de $C(q)$ est similaire à l’optimisation de $C^*(q)$ où : $$C^*(q)=\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)$$ Donc, dans ce contexte, étant donné que la fonction de ristourne $\mathcal{P}$ est une fonction arbitraire, il n’existe aucune solution algébrique directe pour minimiser cette formule. Là encore, cela ne signifie pas que cette minimisation est difficile à résoudre.

Une minimisation simple pour $C^*(q)$ se compose d’une exploration numérique intensive (naïve), qui calcule la fonction pour une vaste gamme de valeurs $q$. En effet, virtuellement, aucune entreprise n’a besoin de quantités de commandes supérieures à 1 000 000 unités, et laisser un ordinateur explorer toutes les valeurs de coûts pour $q=1..1 000 000$ prend moins d’une seconde même si le calcul est effectué dans Excel sur un ordinateur de bureau normal.

Cependant, en pratique, ce calcul peut être grandement accéléré si nous supposons que $\mathcal{P}(q)$ est une fonction de réduction stricte, à savoir que le prix « par unité » diminue lorsque la quantité de passation de commande augmente. En effet, si $\mathcal{P}(q)$ diminue, alors nous pouvons commencer l’exploration de la valeur à $q=\delta+1$, itérer, et pour finir, nous arrêter lorsque la situation $C^*(q+1)>C^*(q)$ est rencontrée.

En pratique, le prix unitaire augmente rarement avec les quantités, cependant, il est possible d’observer des « sursauts » dans la courbe si les livraisons sont optimisées pour les palettes, ou tout autre conteneur favorisant certaines tailles d’emballages.

Formule de Wilson

La formule de l’EOQ la plus connue est la Formule de Wilson développée en 1913. Cette formule repose sur les hypothèses suivantes :

• Le coût de passation de commande est fixe.
• Le taux de la demande est connu, et réparti équitablement sur l’année.
• Le délai d’approvisionnement est fixé.
• Le prix unitaire d’achat est constant ex. aucun rabais disponible.
  

Présentons les variables suivantes :

• $D_y$ étant la quantité de la demande annuelle
• $S$ étant le coût « fixe » par commande (pas un coût « par unité », mais le coût associé à la passation de commande et à la livraison).
• $H_y$ le coût de stockage « annuel ».
  

En fonction de ces hypothèses, l'EOQ optimale de Wilson est : $$Q=\sqrt{\frac{2D_yS}{H_y}}$$ En pratique, nous vous recommandons d’utiliser une variante plus ajustée localement (au fil du temps) de cette formule, dans laquelle $D_y$ est remplacé par $D$ le taux de demande de prévision pendant la durée du délai d’approvisionnement $Z$ divisée par le délai d’approvisionnement), et où $H_y$ est remplacé par $H$, le coût de stockage pendant la durée du délai d’approvisionnement.

Comparaison des deux formules de l’EOQ

Pour la distribution ou la vente en gros, nous pensons que notre formule de l’EOQ « ad-hoc » présentée au début de cette page, mettant en relief les ristournes, est mieux adaptée, donc plus rentable, que la formule de Wilson. Pour les fabricants, cela dépend. Si la commande déclenche une nouvelle production, il pourrait y avoir un coût de passation de commande significatif (mise en place de la production) et peu ou aucun bénéfice sur le coût unitaire marginal après coup. Dans ce cas, la Formule de Wilson est plus appropriée.