Résoudre le problème des quantités minimales de commande

Résoudre le problème des quantités minimales de commande


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Par Joannès Vermorel, Janvier 2016

Les quantités minimales de commande (MOQ) forment une contrainte omniprésente dans le domaine logistique. Une telle contrainte existe lorsqu'un fournisseur n'accepte les commandes qu'à partir d'une certaine quantité commandée, exprimée en unités ou en euros. Souvent, plusieurs contraintes de quantités minimales de commande coexistent et doivent toutes être respectées. Le problème des quantités minimales de commande consiste à calculer la commande d'achat optimisée qui respecte les contraintes de quantités tout en maximisant les résultats économiques des unités achetées.

Ce problème est un problème d'optimisation non linéaire pour lequel le calcul de la solution « optimale » est généralement impossible. Mais, même si les solutions optimales ne peuvent être déterminées, des solutions satisfaisantes peuvent être proposées par des algorithmes avancés de résolution de contraintes non linéaires. La fonction moqsolv, présentée ci-dessous, implémente un tel algorithme pour résoudre avec Lokad ce problème de quantités minimales de commande.

Les contraintes de quantités minimales de commandes habituelles

Les contraintes de quantités minimales de commande peuvent prendre plusieurs formes, parmi les plus fréquentes on trouve :
  • Les quantités minimales exprimées en unités par SKU, pour les articles trop bon marché pour être vendus à la pièce.
  • Les quantités minimales exprimées en euros par commande, souvent utilisées lorsque le fournisseur ne facture pas la livraison.
  • Les quantités minimales exprimées en unités par « catégorie » d'articles, souvent utilisées avec les articles fabriqués sur commande par lots d'une taille minimale.

En général, il est relativement simple de respecter une contrainte à la fois. Par contre, dès que plusieurs contraintes de quantités minimales de commande doivent être prises en compte en même temps, la composition des commandes devient plus complexe.

Les concepts associés aux quantités minimales de commande

Avant d'aborder le problème du point de vue de l'optimisation numérique, passons en revue les concepts essentiels des quantités minimales de commande :
  • Les articles (items) qui représentent ce qui peut être acheté. Les quantités d'articles sont souvent des nombres entiers, même si dans le cas présent aucune restriction ne l'impose.
  • Les quantités commandées (ordered quantity) de chaque article (peuvent être nulles) qui représentent une solution potentielle au problème des quantités minimales de commande.
  • Les récompenses (rewards).associées à chaque unité supplémentaire de chaque article — simplement ce que la fonction stockrwd (récompense associée au stock) fournit, bien que l'utilisation de cette fonction ne soit pas obligatoire.
  • Les coûts (costs) des unités achetées. Le but est de maximiser la récompense pour un budget de dépense donné exprimé en « coûts ». Ces derniers doivent généralement être fixes par unité, mais, dans le cas présent, cette hypothèse ne s'applique pas et les remises en fonction des quantités commandées peuvent donc être prises en compte.
  • Les cibles (targets) qui représentent une façon de spécifier un critère d'arrêt comme le coût réel. Ce concept est un peu subtil et détaillé ci-dessous.

Le critère d'arrêt idéal, lorsque l'on définit une commande à partir d'une « liste de priorité d'achat », est un « budget maximal » : les unités sont achetées, dans l'ordre décroissant du retour sur investissement qui leur est associé, jusqu'à ce que le budget soit dépensé. Toutefois, une limite budgétaire ne dit rien des performances du stock qui peuvent être obtenue. Ainsi, si l'objectif reste d'optimiser le retour sur investissement quel que soit le critère d'arrêt utilisé, il est toujours très utile d'être en mesure de prendre en compte d'autres critères comme un taux de couverture cible par exemple. Le concept de « cible » correspond à un mécanisme générique qui permet de définir des critères d'arrêt alternatifs, tout en passant des commandes par ordre de priorité. Il s'agit alors d'identifier les commandes qui donnent accès au meilleur retour sur investissement pour le plus petit investissement, tout en atteignant l'objectif « cible ». Une définition plus précise du processus d'optimisation est donnée ci-dessous.

Exemple : le responsable logistique définit un taux de couverture cible de 90 %. La résolution du problème des quantités minimales de commande consiste à calculer la commande la moins coûteuse qui « maximise les récompenses » et permet d'atteindre le taux de couverture de 90 %. La commande définie n'est pas la commande la moins coûteuse qui permet d'atteindre le taux de couverture de 90 % — ce qui correspondrait à donner uniquement la priorité au taux de couverture. Il s'agit de la commande la moins coûteuse, qui donne la priorité aux récompenses, mais qui est assez importante pour atteindre le taux de couverture de 90%. Donner uniquement la priorité au taux de couverture est une erreur car, au contraire des récompenses associées au stock, les coûts de création de stock mort ne sont alors pas pris en compte.

Définition formelle du problème des quantités minimales de commande

La présente section porte sur le problème des quantités minimales de commande en tant que problème formel d'optimisation non linéaire. Il est relativement simple de démontrer que ce problème est difficile, NP-difficile pour être précis. En réalité, ce problème des quantités minimales de commande est une extension du problème de bin packing, qui est déjà NP-difficile. Donc le problème des quantités minimales de commande est au moins aussi difficile que le problème de bin packing. En pratique, même s'il s'agit d'un problème NP-difficile, de très bonnes solutions peuvent être calculées.

$I$ représente l'ensemble des articles à considérer pour la commande. $q_i$ avec $i \in I$ représente la quantité à commander pour l'article $i$. Une série de fonctions est ensuite définie :

  • $r_i(q)$ repésente la « récompense » avec $q$ unités de l'article $i$ en stock.
  • $c_i(q)$ repésente le « coût » avec $q$ unités de l'article $i$ achetées.
  • $t_i(q)$ représente la « cible » avec $q$ unités de l'article $i$ en stock.

La fonction de récompense peut renvoyer des valeurs positives ou négatives tandis que celles du coût et de la cible sont strictement positives : $$\forall i, \forall q, c_i(q) > 0 \text{ and } t_i(q) >0$$ $M$ correspond à l'ensemble des contraintes de quantités minimales de commande. Pour chaque $m \in M$, $I_m$ est la liste des articles qui respectent la contrainte $m$ et $Q_m$ la quantité minimale qui doit être atteinte pour respecter la contrainte. $m_i(q)$ est la fonction qui définit la contribution de l'article $i$ à la contrainte $m$ lorsque $q$ unités sont achetées. La contrainte $m$ est respectée si : $$\forall i \in I_m, q_i = 0 \text{ or } \sum_{i \in I_m}m_i(q_i) \geq Q_m$$ Ainsi, toutes les contraintes de de quantités minimales de commande peuvent être respectées de deux façons : en atteignant le seuil de quantité minimale ou en mettant les quantités de tous les articles à zéro.

Ensuite, $C$ représente le coût maximal de la commande. $\textbf{q}_C=(q_i)_i$ est alors défini comme la meilleure commande avec : $$\textbf{q}_C = \underset{q}{\operatorname{argmax}} \left\{ \sum_i r_i(q_i) \text{ with $m$ satisfied } \forall m\in M \right\}$$ La commande est la « meilleure » dans le sens où elle maximise la récompense pour un budget donné. La solution $\textbf{q}_C$ n'est pas unique, cependant, il s'agit là d'une considération théorique car le problème des quantités minimales de commande est trop difficile pour être résolu de façon exacte. Pour plus de simplicité, nous considérerons dans ce qui suit que la solution est unique.

Enfin, $T$ étant une cible minimale, $\textbf{q}^T$ est défini avec $$C^T = \underset{C}{\operatorname{min}} \left\{ \left(\sum_{q_i \in \textbf{q}_C} t_i(q_i) \right) \geq T \right\}$$ et $$\mathbf{q}^T = \textbf{q}_{C^T}$$ La solution $\mathbf{q}^T$ est construite sur $\textbf{q}_C$ : la solution la moins coûteuse qui maximise le retour sur investissement et qui permet d'atteindre la cible.