分位数回归(时序)定义

分位数回归(时序)


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作者:Joannes Vermorel,2012 年 1 月

回归类型(即预测)有意在结果中引入了偏差。分位数回归着眼于所预测变量的平均数,而非着眼于中位数以及其他任何分位数(有时称为百分位数)。作为一种直接计算再订货点的方法,分位数对于库存优化尤其有用

这里的回归预测的同义词。"回归"强调数学方法,而预测强调结果的实用性。

分位数回归的概念是相对较高级的统计主题,本文的目的并非探讨该主题的严谨处理,而在于为零售业或制造业的从业者就该主题提供(相对)直观的介绍。

分位数示例

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上图说明了 3 种不同预测:
  • 红色部分为 75% 分位数预测。
  • 黑色为平均数预测。
  • 绿色部分为 25% 分位数预测。

从视觉上说,分位数的行为与置信区间非常类似。但在实践中,只有单一的目标百分比才需要分位数。

未来需求的分位数(或百分位数)

平均数预测为典型预测,这种预测也是最直观的预测:过高预测与过低预测相应的权重应相等,否则预测就会出现偏差(更准确地说是偏向平均数)。

尽管没有出现偏差的预测最合乎要求,但这并不能说明预测就是准确的。具体来说,预测可能没有偏向任何一边,但结果却可能普遍不准确。偏差只能指示预测模式对未来估计过高或过低的倾向。

针对这一愿景的第一步精进便是中位数预测:过高预测与过低预测相应的频率应相等,否则预测将偏向于中位数

在这一点上,无偏差预测的概念已从相等权重转变为相等机会。这种转变看似细微,但在某些情况下,对数值的影响非常大。

示例:美国家庭收入的平均数与中位数的对比

家庭收入诠释了平均数和中位数之间的巨大差异。

根据美国人口普查局的数据,2004 年,美国家庭收入的中位数为 44389 美元,而同年的家庭平均收入为 60528 美元,比中位数高了将近 40%。

之所以出现这种情况,是因为美国富人家庭的收入明显高于其余人群。所有非对称的分布(通常是所有不遵循正态分布的分布)的平均数和中位数之间都会存在这样的差异。

中位数的泛化

中位数表示将分布按 50/50 分割的阈值。但是,也可以考虑其他频率比。例如,我们可以考虑 80/20、90/10 或者其他任何总百分比值仍为 100% 的比率。

分位数表示中位数对指定百分比值的泛化。例如 τ,其值介于 0 和 1 之间,分位数回归 Q(τ) 表示观察到值低于阈值的几率正好为 τ 的位置处的阈值。

分位数预测

无论是典型预测还是分位数预测,都是以时序作为输入。时序表示输入数据。除了数据,典型的平均数时序预测还需要进行另外两项结构设置:

  • 周期,例如天、周或月。
  • 水平线,表示所要预测周期数的整数值。

时序根据周期隐式聚合,所选水平线的范围应具有实用性,通常要大于交付周期

平均数预测具有一项非常便利的属性:对预测之和执行正确运算。举个例子,如果 y1y2y3y4 表示向前预测 4 周,那么如果我们只需要对接下来周的需求进行预测,那么可以对 y1+y2 求和。

但是,分位数预测求和无法执行正确运算,或者更准确地说,分位数之和不能生成和(各部分之和)的分位数。

我们来说明一下为什么分位数不能求和。假如有一个赌徒每周往老虎机里投一个 1 美元的硬币。我们假设赢取 50 美元的概率为 1%(否则便为 0)。来看预期奖金的 99% 分位数,得出每周 50 美元的奖金。但是,如果来看两周内的 99% 分位数,预期的奖金仍为 50 美元。实际上,中奖两次的几率仅 0.01(即 1% 乘以 1%),所以 99% 分位数仍保持不变。对这两个 99% 的每周分位数求和将得到 100 美元,但在实际中,99% 分位数累积 100 美元需要花费 16 周(这里不提供证明这个结论的数值结果,因为超出了本文的范畴。)


由于分位数预测不能求和,所以分位数时序预测需要重新考量周期聚合的基本概念。实际上,生成按周期的分位数预测有争议,因为这些基础预测无法通过组合来对各个部分生成正确的分位数。

基于此,分位数时序预测采用了不同的结构:

  • τ,即目标分位数,为一个百分比值。
  • λ,即水平线,表示持续时间(通常用天表示)。

举个例子,如果时序表示产品 A 的销售情况,并且 τ=0.90,λ=14 天,则分位数预测 (τ, λ) 将返回大于 14 天内观察到的总需求的几率正好为 90% 时的需求值(小于相同 14 天内需求的几率则为 10%)。

与典型预测相反,分位数预测将独立于水平线生成一个时序,并且每个时序仅有一个值。在一定程度上,分位数预测比典型预测更具周期不可知性

Lokad 特性

乍看之下,分位数预测似乎比典型预测更复杂。然而在很多实际情况中,实践者常止于生成第一个平均数预测,然后便直接将它们作为分位数预测进行外推,并且通常假设这些预测遵循正态分布。但是,外推操作常常表示整个流程中最弱的一个环节,可能明显降低最终结果的质量。预测技术应顺应实践要求,即提供原生的分位数预测,而不是提供其他途径。

参考资料

  • 再订货点,了解分位数如何应用于库存优化。
  • Pinball 损失函数,了解如何度量分位数预测的准确性。
  • Roger Koenker,Kevin F. Hallock,(2001) 分位数回归,Journal of Economic Perspectives,15 (4), 143–156
  • Ichiro Takeuchi,Quoc V. Le,Timothy D. Sears,Alexander J. Smola,(2006),非参数方法估计分位数,Journal of Machine Learning Research 7 1231–1264