卷积幂(和对供应链的应用)

卷积幂


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作者:Joannès Vermorel,2016 年 7 月

卷积幂是一种相对高级的数学运算。在供应链中,卷积幂可以用于对概率需求预测值进行向上或向下扩展。卷积幂提供了对概率预测进行类似线性的数值调整功能。此外,卷积幂可以解读为对"传统"预测(也即针对平均值或中位数回归的周期预测)执行线性调整时对应的概率部分。

促动因素

在考虑到供应链风险的情况下,概率需求预测对于优化决策非常适合。相比之下,在进行传统预测时,需求表示为与特定周期相关的确定性数量,而概率预测则是提供概率分布。

相比单点指标,虽然分布能深入地洞察未来,但分布更为复杂,难以处理。在进行处理时,可能需要反映出无法根据历史数据推断出来的市场变化。而通过卷积幂这项数学运算,可以一种伪线性的方式来扩展概率分布。

举个例子,如果某零售商知道每次促销会将销量提高一倍,那么,在调整传统需求预测(在忽略促销的情况下)时,只需将原始数值乘以 2 即可。对于概率预测(同样在忽略促销的情况下),不能广义地将分布乘以 2,因为分布之和需等于 1 并且表示概率之和。

形式定义

在数学中,卷积幂即对卷积本身进行 $n$ 次迭代。因此,如果 $x$ 为函数 $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$,并且如果 $n$ 为非负整数,那么卷积幂可以定义为: $$ x^{*n} = \underbrace{x * x * x * \cdots * x * x}_n,\quad x^{*0}=\delta_0 $$ 其中 $*$ 表示卷积运算,$δ_0$ 为狄拉克分布。变量 $n$ 称为指数

如果 $x$ 为与离散随机变量 $X$ 相关的概率密度,并且 $x(k)=\mathbf{P}[X=k]$,那么卷积幂可以解读为随机变量之和: $$ X^{*n} = \underbrace{X' + X' + X' + \cdots + X' + X'}_n $$ 其中所有 $X'$ 为原始随机变量 $X$ 的独立副本。

分数指数

上一节中介绍的卷积幂定义为作为指数使用的非负整数。但是,从实用的角度来说,完全可以使用分数指数。举个例子,如果促销仅提高销量 50%,那么,我们将以 $n=1.5$ 来应用卷积幂。在这里,我们将把卷积幂广义化为作为指数使用的任意正实数。

对于非负实数 $a$,卷积幂可以按如下重新定义:

$$ x^{*a} = \mathcal{Z}^{-1} \Big\{ \mathcal{Z}\{x\}^a \Big\} $$ 其中 $\mathcal{Z}$ 为离散分布 $x$ 的 Z-变换,它定义为: $$ \mathcal{Z}\{x\} : z \to \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] z^{-k} $$

其中 $\mathcal{Z}\{x\}^a$ 是对 Z-变换的点态化幂,定义如下: $$ \mathcal{Z}\{x\}^a : z \to \left( \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] z^{-k} \right)^a $$ 最后,$\mathcal{Z}^{-1}$ 为逆向 Z-变换 $$ \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz $$ 出于可读性目的,我们可以引入 $X(z) = \mathcal{Z}\{x\}(z)$,其中 $C$ 为环绕原点的逆时针闭合回路。

如果 $a$ 为整数,那么上述两个针对卷积幂的定义将完全一致。

实际上,逆向 Z-变换并非总是会定义。但是,我们可以利用多种方式来广义化逆向 Z-变换的概念,这个过程有点类似于线性代数中使用的伪逆矩阵的概念。有关此类伪逆 Z-变换的详细信息超出了本文的范畴。

通过伪逆 Z-变换,可以针对紧支集的所有随机变量定义卷积幂。

Envision 语法

借助 Lokad 的编程语言——Envision,可以实现一般卷积幂。卷积幂可以通过运算符 ^* 访问。
y := poisson(3) ^* 4.2 // fractional exponent
上面这段脚本说明了泊松分布(通过 poisson() 函数获取)如何针对幂 4.2 进行卷积。

对于 $x$ - 函数 $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ 和 $y$ - 函数 $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ $$,我们可以将 $x$ 与 $y$ 之间的卷积幂定义为: x^{*y} = \sum_{k=0}^{\infty} y[k] x^{*k} $$ 此外,Envision 也支持使用运算符 ^* 的备用卷积幂表达式,如下面的脚本所示。
y := poisson(3) ^* exponential(0.05)
该指数是通过使用 exponential() 函数获取的指数分布。

使用案例:航空航天备用部件

假设某航空公司运营的机队为 100 架同种飞机组成的机队。该公司需要优化其 APU(即辅助电源设备,是飞机必备的一种昂贵维修部件)的库存。至于对 APU 的需求,该公司以利润线作为概率需求预测 $X$ 进行了预测。

现在,这家公司有机会收购一家运营 5 架飞机的小型竞争对手,并且这 5 架飞机也属于同一种飞机。通过收购竞争对手,该公司扩大了飞机数目,增加了乘客容量。如果假定所有飞机对 APU 的需求在统计上是独立的,并且假定竞争对手的飞机对 APU 的需求与收购公司对 APU 的需求相似,那么,合并后的实体对 APU 的总需求可以修订为 $X^{*\frac{100 + 5}{100}}=X^{*1.05}$。

参考资料