Potencia de convolución (y aplicación en la cadena de suministro)

Potencia de convolución











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Por Joannès Vermorel, julio de 2016

La potencia de convolución es una operación matemática relativamente avanzada. En la cadena de suministro, esta potencia se puede utilizar para escalar o reducir verticalmente pronósticos de demanda probabilística. La potencia de convolución ofrece la posibilidad de realizar ajustes numéricos de tipo lineal en pronósticos probabilísticos. Además, la potencia de convolución puede interpretarse como el equivalente probabilístico de los ajustes lineales realizados en pronósticos clásicos, es decir, pronósticos periódicos regresionados con respecto a la media o la mediana.

Motivación

Los pronósticos de demanda probabilística son particularmente adecuados para optimizar decisiones teniendo en cuenta los riesgos de la cadena de suministro. Sin embargo, a diferencia de los pronósticos clásicos, en los que la demanda se expresa como una cantidad definida asociada a una período de tiempo específico, los pronósticos probabilísticos implican distribuciones de probabilidades.

Si bien las distribuciones proporcionan más información estratégica sobre el futuro si se las compara con indicadores de punto único, estas son más complejas de manipular. Esas manipulaciones pueden ser necesarias para reflejar evoluciones del mercado que no puede deducirse de los datos históricos. La potencia de convolución es una operación matemática que permite escalar una distribución de probabilidades de un modo seudolineal.

Por ejemplo, si un minorista sabe que cada promoción generará un 100 % de aumento en las ventas, lo único que se necesita para ajustar un pronóstico de demanda clásico, que ignora las promociones, es multiplicar el número original por 2. En el caso de los pronósticos probabilísticos (que también ignoran las promociones) no es posible multiplicar la distribución por 2 en un sentido ingenuo, porque la suma de la distribución tiene que ser igual a 1 y representa la suma de las probabilidades.

Definición formal

En matemática, la potencia de convolución es la iteración $n$ veces de la convolución con ella misma. Por lo tanto, si $x$ es una función $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ y si $n$ es un entero no negativo, la potencia de convolución se define por: $$ x^{*n} = \underbrace{x * x * x * \cdots * x * x}_n,\quad x^{*0}=\delta_0 $$ donde $*$ denota la operación de convolución y $δ_0$ es la distribución delta de Dirac. Se define a la variable $n$ como el exponente.

Si $x$ es la densidad de probabilidad asociada a la variable aleatoria discreta $X$ con $x(k)=\mathbf{P}[X=k]$, la potencia de convolución puede interpretarse como una suma de variables aleatorias: $$ X^{*n} = \underbrace{X' + X' + X' + \cdots + X' + X'}_n $$ donde todas las $X'$ son copias independientes de la variable aleatoria original $X$.

Exponentes fraccionarios

La potencia de convolución presentada en la sección anterior se define como enteros no negativos utilizados como exponentes. Sin embargo, desde una perspectiva práctica, es deseable tener exponentes fraccionarios. Por ejemplo, si el aumento de ventas por promociones es de solo el 50 %, buscaríamos aplicar la potencia de convolución con $n=1.5$. Aquí, generalizamos la potencia de convolución a números reales positivos arbitrarios que se utilizan como exponentes.

Para $a$, un número real no negativo, redefinimos la potencia de convolución del siguiente modo:

$$ x^{*a} = \mathcal{Z}^{-1} \Big\{ \mathcal{Z}\{x\}^a \Big\} $$ donde $\mathcal{Z}$ es la transformada Z de la distribución discreta $x$, definida del siguiente modo: $$ \mathcal{Z}\{x\} : z \to \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] z^{-k} $$ y donde $\mathcal{Z}\{x\}^a$ es la potencia puntual sobre la transformada Z definida del siguiente modo: $$ \mathcal{Z}\{x\}^a : z \to \left( \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] z^{-k} \right)^a $$ Por último, $\mathcal{Z}^{-1}$ es la transformada Z inversa $$ \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz $$ con $X(z) = \mathcal{Z}\{x\}(z)$, introducida para aportar legibilidad, y donde $C$ es una ruta antihoraria cerrada que encierra al origen.

Si $a$ es un entero, las dos definiciones dadas anteriormente para la potencia de convolución coinciden.

En la práctica, la transformada Z inversa no siempre es definida. Sin embargo, existen modos de generalizar el concepto de la inversión de la transformada Z, similar a la noción de seudoinversa de matriz utilizada en álgebra lineal. Sin embargo, los detalles relacionados con la transformada Z seudoinversa exceden los objetivos de este documento.

A través de esta transformada Z seudoinversa, la potencia de convolución puede definirse para todas las variables aleatorias de soporte compacto, y para cualquier número real no negativo utilizado como exponente.

Sintaxis en Envision

El lenguaje de programación de Envision, proporcionado por Lokad, ofrece una implementación de la potencia de convolución general. Es posible acceder a la potencia de convolución a través del operador ^*.
y := poisson(3) ^* 4.2 // exponente fraccionario
El script anterior ilustra cómo una distribución de Poisson, obtenida a través de la función poisson(), puede convolucionarse a la potencia de 4.2.

Para $x$ una función $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ y $y$ una función $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$, podemos definir la potencia de convolución de $x$ por $y$ con: $$ x^{*y} = \sum_{k=0}^{\infty} y[k] x^{*k} $$ Envision también admite esta expresión alternativa de la potencia de convolución a través del operador ^*, como se ilustra en el script a continuación.
y := poisson(3) ^* exponential(0.05)
El exponente es una distribución exponencial obtenida utilizando la función exponential().

Caso de uso: piezas de recambio aeronáuticas

Tomemos como ejemplo una aerolínea que opera una flota homogénea de 100 aeronaves. La empresa necesita optimizar su inventario de APU (unidades auxiliares de potencia), que resultan ser un componente reparable costoso necesario para la aeronave. La demanda de APU se ha pronosticado para el horizonte de interés como un pronóstico de demanda probabilístico $X$.

Ahora, esta empresa tiene la oportunidad de comprar a un competidor pequeño que opera 5 aeronaves iguales a las de la flota de nuestra empresa. A través de la adquisición del competidor, la empresa obtiene aeronaves y pasajeros adicionales. Si suponemos que todas las aeronaves son estadísticamente independientes en su necesidad de APU, y suponemos que la aeronave del competidor tiene necesidades similares a las de la empresa compradora, la demanda total de APU para la entidad fusionada sería $X^{*\frac{100 + 5}{100}}=X^{*1.05}$.

Referencias