Convolution itérée

Convolution itérée










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« Par Joannes Vermorel, juillet 2016 »

La convolution itérée est une opération mathématique relativement avancée. En logistique, la convolution itérée peut être utilisée pour augmenter ou réduire des prévisions probabilistes de la demande. La convolution itérée permet d’effectuer des ajustements numériques de style linéaire sur des prévisions probabilistes. La convolution itérée peut être vue comme l’équivalent probabiliste des ajustements linéaires effectués sur des prévisions « classiques » — c’est-à-dire des prévisions périodiques ramenées à la valeur moyenne ou médiane.

Motivation

Les prévisions probabilistes de la demande sont particulièrement adaptées à l’optimisation de décisions qui prennent en compte les risques logistiques. Cependant, à la différence des prévisions classiques dans lesquelles la demande est exprimée par une quantité définie associée à une période donnée, les prévisions probabilistes font appel aux distributions de probabilités.

Les distributions donnent plus de détails sur le futur que les mesures à valeur unique mais leur manipulation est également plus compliquée. Ces manipulations peuvent être nécessaires à la représentation d’évolutions du marché qui ne peuvent être déduites des données historiques. La convolution itérée est une opération mathématique qui permet d’augmenter ou de réduire une distribution de probabilités de façon pseudo-linéaire.

Par exemple, si un détaillant sait que chaque promotion engendre une augmentation de 100 % des ventes, il suffit alors de multiplier le nombre d’origine par 2 pour ajuster la prévision classique de la demande — qui ne prend pas en compte les promotions. Dans le cas des prévisions probabilistes — qui ne prennent pas non plus en compte les promotions — il est impossible de multiplier la distribution par 2 : la somme de la distribution doit restée égale à 1 et représente la somme des probabilités.

Définition formelle

En mathématique, une convolution itérée est la $n$-ième itération de la convolution sur elle-même. Ainsi, si $x$ est une fonction $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ et $n$ un entier positif, la convolution itérée est définie par : $$ x^{*n} = \underbrace{x * x * x * \cdots * x * x}_n,\quad x^{*0}=\delta_0 $$ $*$ marque l’opération de convolution et $δ_0$ est la distribution de Dirac. La variable $n$ est appelée _exposant_.

Si $x$ est la densité de probabilité associée à la variable aléatoire discrète $X$ avec $x(k)=\mathbf{P}[X=k]$, alors la convolution itérée peut être interprétée comme la somme des variables aléatoires : $$ X^{*n} = \underbrace{X' + X' + X' + \cdots + X' + X'}_n $$ Tous les $X'$ sont des copies indépendantes de la variable aléatoire d’origine $X$.

Exposants fractionnaires

La convolution itérée, telle que présentée ci-dessus, est définie pour des entiers positifs utilisés en tant qu’exposant. Mais, d’un point de vue pratique, les exposants fractionnaires peuvent être utiles. Par exemple, si l’augmentation des ventes suite à une promotion n’est que de 50 %, il faut appliquer la convolution itérée avec $n=1.5$. Nous généralisons ici la convolution itérée aux réels positifs arbitraires, utilisés en tant qu’exposant.

Pour $a$, un réel positif, nous définissons la convolution itérée avec :

$$ x^{*a} = \mathcal{Z}^{-1} \Big\{ \mathcal{Z}\{x\}^a \Big\} $$ $\mathcal{Z}$ est une transformée en Z de la distribution discrète $x$, définie par : $$ \mathcal{Z}\{x\} : z \to \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] z^{-k} $$ $\mathcal{Z}\{x\}^a$ est la puissance appliquée à la transformée en Z définie par : $$ \mathcal{Z}\{x\}^a : z \to \left( \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] z^{-k} \right)^a $$ Enfin, $\mathcal{Z}^{-1}$ est la transformée en Z inverse. $$ \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz $$ $X(z) = \mathcal{Z}\{x\}(z)$ est employé pour plus de lisibilité et $C$ encercle l’origine dans le sens antihoraire.

Si $a$ est un entier, les deux définitions données ci-dessus pour la convolution itérée se recoupent.

En pratique, la transformée en Z inverse n’est pas toujours définie. Il est cependant possible de généraliser la notion d’inversion de transformée en Z, quelque peu similaire à la notion de pseudo-inverse de matrices utilisée en algèbre linéaire. Les détails de ces pseudo-inverses de transformée en Z ne font pas l’objet de cet article.

Grâce à ces pseudo-inverses de transformée en Z, la convolution itérée peut être définie pour toutes les variables aléatoires de support compact et pour tout réel positif utilisé en exposant.

Syntaxe Envision

Le langage de programmation Envision, développé par Lokad, offre une mise en œuvre de la convolution itérée générale. Celle-ci est accessible à travers l’opérateur ^*.
y := poisson(3) ^* 4.2 // exposant fractionnaire
Le script ci-dessus illustre comment itérer 4,2 fois une convolution d’une distribution de Poisson, obtenue à travers l’appel de la fonction poisson().

Pour $x$ une fonction $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ et $y$ une fonction $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$, nous pouvons définir la convolution itérée de $x$ par $y$ via : $$ x^{*y} = \sum_{k=0}^{\infty} y[k] x^{*k} $$ Envision prend également en charge cette autre expression de la convolution itérée avec l’opérateur ^*, comme l’illustre le script ci-dessous.
y := poisson(3) ^* exponential(5)
L’exposant est une distribution exponentielle obtenue en utilisant la fonction exponential().

Cas d’emploi : pièces détachées dans l’aéronautique

Prenons une compagnie aérienne qui opère une flotte homogène de 100 appareils. La compagnie doit optimiser son stock de groupes auxiliaires de puissance, composants réparables dont le coût est élevé. La demande de ces groupes auxiliaires de puissance est prévue sous la forme de la prévision probabiliste $X$.

L’entreprise a la possibilité de racheter un de ses concurrents, qui opère 5 appareils homogènes à sa propre flotte. Via cette acquisition, l’entreprise gagne des appareils et des passagers. Si nous faisons l’hypothèse que les besoins en groupes auxiliaires de puissance des appareils sont indépendants et que ceux des appareils du concurrent sont similaires à ceux de l’entreprise alors la demande totale en groupes auxiliaires de puissance suite à la fusion peut être exprimée par $X^{*\frac{100 + 5}{100}}=X^{*1.05}$.

Références