Potenza di convoluzione (e sue applicazioni alla catena di distribuzione)

Potenza di convoluzione












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di Joannès Vermorel, Luglio 2016

La potenza di convoluzione è un'operazione matematica relativamente avanzata. Nella catena logistica, la potenza di convoluzione può essere usata per spostare al rialzo o al ribasso le previsioni probabilistiche della domanda. La potenza di convoluzione offre dunque la possibilità di eseguire aggiustamenti numerici quasi lineari sulle previsioni probabilistiche e, di conseguenza, può essere vista come la controparte probabilistica degli aggiustamenti lineari eseguiti sulle previsioni "tradizionali" (previsioni periodiche regredite al valore medio o mediano).

Perché usarla

Le previsioni probabilistiche della domanda sono la soluzione ideale per ottimizzare decisioni che tengano conto dei rischi insiti nella catena di distribuzione. A differenza delle previsioni tradizionali, però, dove la domanda è espressa come una quantità definita associata a uno specifico periodo di tempo, le previsioni probabilistiche si basano su distribuzioni di probabilità.

Le distribuzioni offrono un quadro molto più esaustivo della situazione futura, rispetto a un semplice indicatore a un solo punto. Il rovescio della medaglia è che però sono operazioni più complesse da manipolare – e una manipolazione potrebbe comunque essere necessaria per riflettere evoluzioni di mercato non deducibili dai dati storici. Qui viene in aiuto la potenza di convoluzione, che costituisce un'operazione matematica in grado di regolare una distribuzione di probabilità in modo quasi lineare.

Ad esempio, se un rivenditore sa che ogni promozione porta a un incremento delle vendite pari al 100%, dovrà regolare le previsioni tradizionali della domanda (che ignorano le promozioni) moltiplicando il numero originale per 2. Quando invece abbiamo una previsione probabilistica (che ignora anch'essa le promozioni) non è possibile eseguire una moltiplicazione per 2, perché la somma delle distribuzioni, che rappresenta la somma delle probabilità, deve rimanere uguale a 1.

Definizione formale

In matematica, la potenza di convoluzione è la ripetizione per $n$ volte della convoluzione per se stessa. In questo modo, se $x$ è una funzione di tipo $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ e se $n$ è un numero intero non negativo, allora la potenza di convoluzione è definita da: $$ x^{*n} = \underbrace{x * x * x * \cdots * x * x}_n,\quad x^{*0}=\delta_0 $$ dove $*$ denota l'operazione di convoluzione e $δ_0$ è la distribuzione delta di Dirac. La variabile $n$ è definita esponente.

Se $x$ è la densità di probabilità associata alla variabile casuale discreta $X$ con $x(k)=\mathbf{P}[X=k]$, allora la potenza di convoluzione può essere interpretata come una somma di variabili casuali: $$ X^{*n} = \underbrace{X' + X' + X' + \cdots + X' + X'}_n $$ dove tutte le $X'$ sono copie indipendenti della variabile casuale originaria $X$.

Esponenti frazionari

La potenza di convoluzione, come abbiamo appena visto, è definita per numeri interi non negativi usati come esponenti. Sul piano pratico, però, un esponente frazionario può rivelarsi ben più utile. Ad esempio, se l'aumento delle vendite derivato dalle promozioni è solo del 50%, allora potremmo applicare una potenza di convoluzione con $n=1,5$. In questo modo, generalizziamo la potenza di convoluzione ai numeri reali positivi arbitrari utilizzati come esponenti.

Per $a$, un numero reale non negativo, ridefiniamo la potenza di convoluzione come:

$$ x^{*a} = \mathcal{Z}^{-1} \Big\{ \mathcal{Z}\{x\}^a \Big\} $$ dove $\mathcal{Z}$ è la trasformata zeta della distribuzione discreta $x$, definita come: $$ \mathcal{Z}\{x\} : z \to \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] z^{-k} $$ $\mathcal{Z}\{x\}^a$ è la potenza applicata alla trasformata zeta, definita come: $$ \mathcal{Z}\{x\}^a : z \to \left( \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] z^{-k} \right)^a $$ e $\mathcal{Z}^{-1}$ è la trasformata zeta inversa $$ \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz $$ con $X(z) = \mathcal{Z}\{x\}(z)$ introdotta per maggiore leggibilità e dove $C$ è un percorso chiuso antiorario che circonda l'origine.

Se $a$ è un numero intero, allora le due definizioni date sopra per la potenza di convoluzione coincidono.

Nella pratica, la trasformata zeta inversa non è sempre definita. Tuttavia, esistono diversi modi per generalizzare il concetto di inversione della trasformata zeta (un po' come per il concetto di matrice pseudoinversa in algebra lineare). Non affronteremo ora in dettaglio l'inversione della trasformata zeta.

Basti sapere che attraverso questo procedimento la potenza di convoluzione può essere definita per tutte le variabili casuali di supporto compatto e per qualsiasi numero reale non negativo usato come esponente.

Sintassi Envision

Il linguaggio di programmazione Envision, creato e fornito da Lokad, offre un'implementazione della potenza di convoluzione generale, accessibile attraverso l'operatore ^*.
y := poisson(3) ^* 4.2 // esponente frazionario
Lo script qui sopra illustra come ripetere una distribuzione di Poisson, ottenuta tramite una chiamata alla funzione poisson(), per 4,2 volte.

Date per $x$ una funzione $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ e per $y$ una funzione $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$, possiamo definire la potenza di convoluzione di $x$ elevato a $y$ con: $$ x^{*y} = \sum_{k=0}^{\infty} y[k] x^{*k} $$ Envision supporta anche un'altra espressione della potenza di convoluzione attraverso l'operatore ^*:
y := poisson(3) ^* exponential(0.05)
L'esponente è una distribuzione esponenziale ottenuta attraverso una chiamata alla funzione exponential().

Quando usarla: il caso dei pezzi di ricambio nell'aeronautica

Consideriamo una compagnia aerea che opera con una flotta omogenea di 100 aerei. La compagnia deve ottimizzare le proprie scorte di APU (o unità di potenza ausiliarie), un componente riparabile e necessario al funzionamento dei velivoli, ma piuttosto costoso. La richiesta di APU è stata prevista per l'orizzonte di interesse come previsione probabilistica della domanda $X$.

Ora, la compagnia ha la possibilità di comprare un'altra compagnia aerea, più piccola, che opera con una flotta omogenea di 5 aerei. Attraverso l'acquisizione della concorrente, la compagnia guadagna altri velivoli e altri passeggeri. Se ipotizziamo che gli aeromobili siano tutti indipendenti, dal punto di vista statistico, riguardo alle loro necessità in materia di APU, e se ipotizziamo che gli aeromobili della società acquisita abbiano necessità simili a quelli della società madre, allora la domanda totale di APU in seguito alla fusione potrà essere rivista come $X^{*\frac{100 + 5}{100}}=X^{*1,05}$.

Riferimenti