Cantidad Económica de Pedido (EOQ)
El EOQ es la cantidad de pedido para el reabastecimiento que minimiza los costes de inventario. El pedido se activa cuando el nivel de inventario alcanza el punto de reorden. El EOQ se calcula para minimizar una combinación de costes tales como el coste de compra (que puede incluir descuentos por volumen), el coste de mantenimiento de inventario, el coste de pedido, etc. La optimización de la cantidad de pedido es complementaria a la optimización del stock de seguridad que se centra en encontrar el umbral óptimo para activar el reorden.
Modelo y fórmula
La fórmula EOQ clásica (ver la Fórmula de Wilson a continuación) es esencialmente un trade-off entre el coste de pedido, asumido como una tarifa fija por pedido, y el coste de mantenimiento de inventario. Aunque esta fórmula, que data de 1913, es sumamente conocida, aconsejamos no utilizar tal fórmula en ningún entorno moderno de supply chain. Las suposiciones matemáticas subyacentes detrás de esta fórmula son simplemente incorrectas en la actualidad.
La fórmula histórica asume que el coste del acto de pedir es el factor empresarial clave. Ciertamente, fue un factor importante allá por 1913 cuando se necesitaba un ejército de empleados para llevar manualmente el registro de los libros, pero con el software de gestión de inventario y posiblemente EDI, este factor suele ser insignificante. Como resultado, la “optimización” realizada por la fórmula tiene poco sentido y ignora por completo cualquier descuento de precio que pueda estar disponible cuando se ordenan mayores cantidades.
Descargar hoja de Excel: eoq-calculator.xlsm (cálculo ilustrado)
Así, proponemos aquí una variante de la fórmula EOQ que optimiza el trade-off entre los costes de tenencia y los descuentos por volumen. Presentemos las variables:
- $${Z}$$ sea la demanda durante el tiempo de entrega.
- $${H}$$ es el coste de tenencia por unidad durante el tiempo de entrega (1).
- $$\delta$$ sea la cantidad delta de inventario necesaria para alcanzar el punto de reorden (2).
- $${P}$$ es el precio de compra por unidad, una función que depende de la cantidad de pedido q
(1) El alcance temporal considerado aquí es el tiempo de entrega. Por lo tanto, en lugar de considerar el más habitual coste de tenencia anual $$H_y$$, estamos considerando $$H = \frac{d}{365}H_y$$ asumiendo que $$d$$ es el tiempo de entrega expresado en días.
(2) La cantidad delta debe tener en cuenta tanto el stock disponible $$q_{hand}$$ como el stock en pedido $$q_{order}$$, lo que da la relación $$\delta = R - q_{hand} - q_{order}$$ donde $$R$$ es el punto de reorden. De forma intuitiva, $$\delta+1$$ es la cantidad mínima que se debe pedir para mantener el nivel de servicio deseado.
A pesar de su apariencia aparentemente complicada, esta función puede ser calculada fácilmente con Microsoft Excel, como se ilustra en la hoja proporcionada arriba.
¿Qué hay del coste de pedido?
A primera vista, podría parecer que asumimos un coste de pedido nulo, pero no es así. De hecho, el marco que presentamos aquí es relativamente flexible y el coste de pedido (si lo hubiera) puede estar incorporado en la función de precio $$\mathcal{P}$$.
Función de coste
Para modelar la función de coste para la cantidad de pedido que tiene en cuenta los descuentos por volumen, introduzcamos $${R}$$, el punto de reorden. El coste de inventario es la suma del coste de tenencia de inventario más el coste de compra, es decir
De hecho, desde un punto de vista amortizado sobre el periodo de tiempo de entrega, la cantidad total a pedir será $${Z}$$, la demanda de tiempo de entrega.
Entonces, el nivel de inventario varía constantemente, pero si consideramos reórdenes mínimas estrictas (es decir, $${q=\delta+1}$$) entonces, el nivel de stock promedio a lo largo del tiempo es igual a $${R}$$, el punto de reorden. Luego, dado que estamos considerando cantidades de pedido mayores a $${\delta+1}$$, esas cantidades adicionales ordenadas incrementan el nivel de inventario promedio (y también posponen el momento en que se alcanzará el siguiente punto de reorden).
El $${(q-\delta-1)/2}$$ representa el desplazamiento en el inventario causado por el reorden, asumiendo que la demanda durante el tiempo de entrega se distribuye de manera uniforme a lo largo del mismo. El factor $${1/2}$$ se justifica porque un aumento en la cantidad de pedido de $${N}$$ solo incrementa el nivel de inventario promedio en $${N/2}$$.
Minimización de la función de coste
Para minimizar $${C(q)}$$, podemos comenzar aislando la parte que no depende de $${q}$$ con:
Dado que $${RH}$$ no depende de $${q}$$, optimizar $${C(q)}$$ es lo mismo que optimizar $${C^*(q)}$$ donde:
Entonces, en este contexto, dado que la función de descuento por volumen $$\mathcal{P}$$ es una función arbitraria, no existe una solución algebraica directa para minimizar esta fórmula. Sin embargo, esto no implica que dicha minimización sea difícil de resolver.
Una minimización simple para $${C^*(q)}$$ consiste en una (ingenua) exploración numérica extensa, es decir, calcular la función para un amplio rango de valores de $${q}$$. De hecho, prácticamente ningún negocio necesita cantidades de pedido mayores a 1,000,000 de unidades, y permitir que una computadora explore todos los valores de coste para $${q=1..1,000,000}$$ toma menos de 1 segundo, incluso si el cálculo se realiza en Excel en una computadora de escritorio común.
Sin embargo, en la práctica, este cálculo puede acelerarse enormemente si asumimos que $$\mathcal{P}(q)$$ es una función estrictamente decreciente, es decir, que el precio por unidad disminuye estrictamente cuando aumenta la cantidad de pedido. De hecho, si $$\mathcal{P}(q)$$ disminuye, podemos iniciar la exploración de valores en $${q=\delta+1}$$, iterar, y finalmente detenernos cuando se encuentre la situación $${C^(q+1)>C^(q)}$$.
En la práctica, el precio unitario rara vez aumenta con las cantidades, sin embargo, pueden observarse algunos picos locales en la curva si los envíos se optimizan para palets, u otro contenedor que favorezca ciertos tamaños de paquete.
Fórmula de Wilson
La fórmula EOQ más conocida es la Fórmula de Wilson desarrollada en 1913. Esta fórmula se basa en las siguientes suposiciones:
- El coste de pedido es fijo.
- La tasa de demanda es conocida y se distribuye uniformemente a lo largo del año.
- El tiempo de entrega es fijo.
- El precio de compra por unidad es constante, es decir, no hay descuento disponible.
Presentemos las siguientes variables:
- $${D_y}$$ sea la cantidad de demanda anual
- $${S}$$ sea el coste fijo plano por pedido (no un coste por unidad, sino el coste asociado a la operación de ordenar y enviar).
- $${H_y}$$ sea el coste de tenencia anual
Bajo esas suposiciones, el EOQ óptimo según Wilson es:
En la práctica, sugerimos utilizar una variante más ajustada localmente (en cuanto a tiempo) de esta fórmula, donde $${D_y}$$ se reemplaza por $${D}$$, la tasa de demanda forecast para la duración del tiempo de entrega (es decir, la demanda durante el tiempo de entrega $${Z}$$ dividida por el tiempo de entrega), y donde $${H_y}$$ se reemplaza por $${H}$$, el coste de tenencia para la duración del tiempo de entrega.
Comparación de las dos fórmulas EOQ
Para el comercio minorista o mayorista, creemos que nuestra fórmula EOQ ad-hoc presentada al inicio de esta página, que enfatiza los descuentos por volumen, es más adecuada y, por tanto, más rentable que la fórmula de Wilson. Para los fabricantes, depende. En particular, si el pedido desencadena una nueva producción, entonces, de hecho, podría haber un coste de pedido significativo (puesta en marcha de la producción) y pocos o ningún beneficio en el coste marginal por unidad posteriormente. En tal situación, la Fórmula de Wilson es más apropiada.