Definition Pinball-Loss-Funktion - Software zur Bestandsoptimierung

Pinball-Loss-Funktion (Quantil-Genauigkeit)


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von Joannès Vermorel, Februar 2012

Die Bewertung der Genauigkeit einer Quantil-Prognose ist eine komplexe Angelegenheit. Im Gegenteil zu klassichen Prognosen, deren Ziel eine absolute Nähe zu den beobachteten Werte ist, ist die Situation (absichtlich) voreingenommen, wenn Quantil-Prognosen betroffen sind. Von daher ist der naive Vergleich beobachtet vs. Prognosen nicht zufriedenstellend. Die Pinball-Loss-Funktion liefert einen Wert, der als Genauigkeit eines Quantil-Prognose-Modells bezeichnet werden kann.

Formel

Angenommen $\tau$ ist das Ziel-Quanitl, $y$ der Istwert und $z$ die Quantil-Prognose, lautet $L_\tau$, die Pinball-Loss-Funktion, folgendermaßen:

$$ \begin{eqnarray} L_{\tau}(y,z) & = & (y - z) \tau & \textrm{ if } y \geq z \\\ & = & (z - y) (1 - \tau) & \textrm{ if } z > y \end{eqnarray} $$ Pinball-Loss-Funktion.xlsx herunterladen.

Anhand der Tabelle ist zu sehen, wie die Pinball-Loss-Funktion innerhalb Microsoft Excel berechnet werden kann. Die eigentliche Formel ist nicht komplizierter als die meisten Präzisionsindikatoren, sowie MAPE.

Illustration

Graph of the Pinball loss function

Die Pinball-Loss-Funktion (rot) wurde nach ihrer Form benannt, da diese an die Flugbahn eines Balls in einem Flipperautomaten erinnert. Die Funktion ist stets positiv und je weiter sie vom Ziel $y$ entfernt ist, desto größer ist der Wert von $L_\tau(y,z)$. Der Anstieg spiegelt das gewünschte Ungleichgewicht der Quantil-Prognose wider.

Das beste Quantilmodell hat den niedrigsten Pinball-Loss

Der wichtigste mit der Pinball-Loss-Funktion assoziierte Fakt ist: Je niedriger der Pinball-Loss, desto genauer die Quantil-Prognose.

Es ist nachweisbar, dass die Funktion, die den Pinball-Loss reduziert, gleichzeitig die optimale Quantil-Prognose liefert. Der für einen Beweis benötigte Formalismus übersteigt jedoch den Rahmen dieses Artikels.

Um die zugehörige Genauigkeit der beiden Quantil-Modelle (z. B. Lokad vs. Konkurrenz) zu vergleichen, muss der durchschnittliche Pinball-Loss beider Modelle über diverse ausreichend große Zeitreihen berechnet werden, um eine statistische Signifkanz des beobachteten Unterschieds zu gewährleisten. In der Praxis reichen wenige hunderte von Zeitreihen aus, um festzustellen, welches Quantil-Modell genauere Ergebnisse liefert.

Lokad hat die Lösung

Die angebliche Einfachheit des Begriffs Genauigkeit in einer klassischen Prognose (d. h. Durchschnittsprognose) ist unserer Meinung nach absolut überbewertet. Prognosen, ob Durchschnitts- oder Quantil-, unterliegen dem Overfitting, wodurch der Vergleich von Prognosenmodellen erheblich erschwert wird. Die Pinball-Loss-Funktion jedoch bietet eine einfache Art und Weise zur Bewertung der relativen Genauigkeit von zwei Quantil-Prognosemodellen.

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