Wirtschaftliche Bestellmenge (EOQ)

Von Joannes Vermorel, Januar 2012

EOQ ist die Bestellmenge für replenishment , die die gesamten Lagerhaltungskosten minimiert. Die Bestellung wird ausgelöst, sobald der Lagerbestand den Nachbestellpunkt erreicht. Der EOQ wird berechnet, um eine Kombination von Kosten zu minimieren, wie z. B. den Einkaufspreis (der möglicherweise Mengenrabatte beinhaltet), die Lagerhaltungskosten, die Bestellkosten usw. Die Optimierung der Bestellmenge ergänzt die Optimierung des Sicherheitsbestands, die darauf abzielt, den optimalen Schwellenwert zur Auslösung der Nachbestellung zu finden.

Aktualisierung Juli 2020: Der EOQ stellt eine ziemlich veraltete Sichtweise dar, die tief in einer stationären Perspektive verwurzelt ist, in der future demand nicht nur vollkommen bekannt, sondern auch konstant ist. Die folgenden Formeln mögen der „textbook“ supply chain entsprechen, aber die zugrunde liegende Perspektive ist per Design fehlerhaft. Wahrscheinlichkeitsbasierte Nachfrageprognosen in Verbindung mit der Bewertung des marginalen wirtschaftlichen Beitrags jeder einzelnen zusätzlichen Lagereinheit stellen einen viel besseren Ansatz dar. Wir empfehlen, das EOQ-Konzept nicht mehr zu verwenden.

Modell und Formel

Die klassische EOQ-Formel (siehe unten die Wilson-Formel) stellt im Wesentlichen einen Trade-off zwischen den Bestellkosten, die als Pauschalgebühr pro Bestellung angenommen werden, und den Lagerhaltungskosten dar. Obwohl diese Formel, die bis ins Jahr 1913 zurückreicht, äußerst bekannt ist, raten wir dringend davon ab, eine solche Formel in jeder modernen supply chain Umgebung anzuwenden. Die zugrunde liegenden mathematischen Annahmen dieser Formel sind heutzutage schlichtweg falsch.

Die historische Formel geht davon aus, dass die Kosten des Bestellvorgangs der entscheidende wirtschaftliche Treiber sind. Das war 1913 sicherlich ein wichtiger Faktor, als unzählige Angestellte manuell die Bücher führten, aber mit Software zur Bestandskontrolle und möglicherweise EDI ist dieser Faktor in der Regel unbedeutend. Folglich erscheint die von der Formel durchgeführte “Optimierung” wenig sinnvoll und ignoriert vollständig Preisnachlässe, die bei größeren Bestellmengen möglich sind.

Excel-Tabelle herunterladen: eoq-calculator.xlsm (veranschaulichte Berechnung)

Daher schlagen wir hier eine Variante der EOQ-Formel vor, die den Kompromiss zwischen Lagerhaltungskosten und Mengenrabatten optimiert. Führen wir die Variablen ein:

$${Z}$$ sei die Leitnachfrage.
$${H}$$ sei der Lagerhaltungskosten pro Einheit für die Dauer der Lieferzeit (1).
$$\delta$$ sei die Differenzmenge am Bestand, die benötigt wird, um den Nachbestellpunkt zu erreichen (2).
$${P}$$ sei der Stückkaufpreis, eine Funktion, die von der Bestellmenge q abhängt.

(1) Der hier betrachtete Zeitraum ist die Lieferzeit. Daher betrachten wir anstelle der üblichen jährlichen Lagerhaltungskosten $$H_y$$ die Größe $$H = \frac{d}{365}H_y$$, wobei angenommen wird, dass $$d$$ die Lieferzeit in Tagen ausdrückt.

(2) Die Differenzmenge muss sowohl den vorhandenen Lagerbestand $$q_{hand}$$ als auch den bereits bestellten Bestand $$q_{order}$$ berücksichtigen, was zur Gleichung $$\delta = R - q_{hand} - q_{order}$$ führt, wobei $$R$$ der Nachbestellpunkt ist. Intuitiv ist $$\delta+1$$ die minimale Bestellmenge, um das gewünschte Service Level aufrechtzuerhalten.

$$Q = \underset{q=\delta+1..\infty}{\operatorname{argmin}}\left(\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)\right)$$

Trotz ihres scheinbar komplizierten Aufbaus kann diese Funktion mit Microsoft Excel leicht berechnet werden, wie das oben angeführte Tabellenblatt veranschaulicht.

Was ist mit den Bestellkosten?

Auf den ersten Blick könnte es den Anschein haben, als würden wir von null Bestellkosten ausgehen, was jedoch nicht der Fall ist. Tatsächlich ist das hier vorgestellte Modell relativ flexibel, und die Bestellkosten (falls vorhanden) können in die Preisfunktion $$\mathcal{P}$$ eingebettet werden.

Kostenfunktion

Um die Kostenfunktion für die Bestellmenge zu modellieren, die Mengenrabatte berücksichtigt, führen wir $$R$$, den Nachbestellpunkt, ein. Die Inventarkosten sind die Summe aus den Lagerhaltungskosten und den Anschaffungskosten, das heißt

$$C(q)=\left(R+\frac{q-\delta-1}{2}\right)H+Z\mathcal{P}(q)$$

In der Tat wird bei Betrachtung einer amortisierten Sicht über die Lieferzeit hinweg die insgesamt zu bestellende Menge $$Z$$, also die Leitnachfrage, betragen.

Der Lagerbestand variiert ständig, aber wenn wir von strikt minimalen Nachbestellungen ausgehen (d.h. $${q=\delta+1}$$), entspricht der durchschnittliche Lagerbestand über die Zeit dem Nachbestellpunkt $${R}$$. Da wir jedoch Bestellmengen größer als $${\delta+1}$$ in Betracht ziehen, erhöhen diese zusätzlich bestellten Mengen den durchschnittlichen Lagerbestand (und verschieben auch den Zeitpunkt, an dem der nächste Nachbestellpunkt erreicht wird).

Der Ausdruck $${(q-\delta-1)/2}$$ repräsentiert die Bestandsverschiebung, die durch die Nachbestellung verursacht wird, unter der Annahme, dass die Leitnachfrage während der gesamten Lieferzeit gleichmäßig verteilt ist. Der Faktor $${1/2}$$ ist gerechtfertigt, da eine erhöhte Bestellmenge von $${N}$$ nur zu einer Steigerung des durchschnittlichen Lagerbestands um $${N/2}$$ führt.

Minimierung der Kostenfunktion

Um $${C(q)}$$ zu minimieren, können wir damit beginnen, den Teil, der nicht von $${q}$$ abhängt, zu isolieren, und zwar mit:

$$C(q)=\left(R+\frac{q-\delta-1}{2}\right)H+Z\mathcal{P}(q)$$

Da $${RH}$$ nicht von $${q}$$ abhängt, entspricht die Optimierung von $${C(q)}$$ der Optimierung von $${C^*(q)}$$, wobei:

$$C^*(q)=\frac{1}{2}(q-\delta-1)H+Z\mathcal{P}(q)$$

In diesem Zusammenhang gibt es, da die Mengenrabattfunktion $$\mathcal{P}$$ eine beliebige Funktion ist, keine direkte algebraische Lösung zur Minimierung dieser Formel. Das bedeutet jedoch nicht, dass diese Minimierung schwer zu lösen ist.

Eine einfache Minimierung von $${C^*(q)}$$ besteht in einer (naiven) umfassenden numerischen Erkundung, das heißt, die Funktion wird für einen großen Bereich von $${q}$$-Werten berechnet. Tatsächlich benötigt praktisch kein Unternehmen Bestellmengen, die 1.000.000 Einheiten übersteigen, und die Berechnung aller Kostenwerte für $${q=1..1,000,000}$$ dauert weniger als 1 Sekunde, selbst wenn die Berechnung in Excel auf einem herkömmlichen Desktop-Computer erfolgt.

Allerdings kann diese Berechnung in der Praxis erheblich beschleunigt werden, wenn wir annehmen, dass $$\mathcal{P}(q)$$ eine streng abnehmende Funktion ist, das heißt, dass der Stückpreis strikt sinkt, wenn die Bestellmenge steigt. Tatsächlich, wenn $$\mathcal{P}(q)$$ abnimmt, können wir die Wertsuche bei $${q=\delta+1}$$ beginnen, iterieren und schließlich anhalten, sobald die Bedingung $${C^(q+1)>C^(q)}$$ eintritt.

In der Praxis steigt der Stückpreis selten mit zunehmender Menge, dennoch können lokale Anstiege in der Kurve beobachtet werden, wenn Lieferungen für Paletten oder andere Container optimiert werden, die bestimmte Verpackungsgrößen bevorzugen.

Im oben beigefügten Excel-Tabellenblatt gehen wir davon aus, dass der Stückpreis mit zunehmender Menge strikt abnimmt. Falls dies nicht der Fall ist, bearbeiten Sie bitte das Makro EoqVD(), um auf eine naive Bereichserkundung zurückzugreifen.

Wilson-Formel

Die bekannteste EOQ-Formel ist die 1913 entwickelte Wilson-Formel. Diese Formel beruht auf den folgenden Annahmen:

Die Bestellkosten sind pauschal.
Die Nachfrage ist bekannt und gleichmäßig über das Jahr verteilt.
Die Lieferzeit ist festgelegt.
Der Stückkaufpreis ist konstant, d.h. es sind keine Rabatte verfügbar.

Führen wir die folgenden Variablen ein:

$${D_y}$$ sei die jährliche Nachfrage.
$${S}$$ sei die feste Pauschalgebühr pro Bestellung (keine pro Einheit Kosten, sondern die mit der Bestellung und dem Versand verbundenen Kosten).
$${H_y}$$ seien die jährlichen Lagerhaltungskosten.

Unter diesen Annahmen lautet der optimale Wilson-EOQ:

$$Q=\sqrt{\frac{2D_yS}{H_y}}$$

In der Praxis empfehlen wir, eine lokal angepasste Variante (zeitlich) dieser Formel zu verwenden, bei der $${D_y}$$ durch $${D}$$ ersetzt wird, also durch die prognostizierte Nachfrage für die Dauer der Lieferzeit (alias die Leitnachfrage $${Z}$$ geteilt durch die Lieferzeit), und bei der $${H_y}$$ durch $${H}$$ ersetzt wird, den Lagerhaltungskosten für die Dauer der Lieferzeit.

Vergleich der beiden EOQ-Formeln

Für den Einzel- oder Großhandel sind wir der Meinung, dass unsere oben vorgestellte ad-hoc EOQ-Formel, die Mengenrabatte in den Vordergrund stellt, besser geeignet und damit profitabler ist als die Wilson-Formel. Für Hersteller kommt es darauf an. Insbesondere, wenn die Bestellung eine Neuproduktion auslöst, können nämlich erhebliche Bestellkosten (Produktionsumrüstungen) anfallen, während der marginale Stückpreis kaum oder gar nicht sinkt. In einem solchen Fall ist die Wilson-Formel angemessener.