Définition des prévisions probabilistes

Définition des prévisions probabilistes


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Par Joannès Vermorel, Octobre 2015

Une prévision probabiliste représente une estimation des probabilités qu'une variable donnée prenne certaines valeurs dans le futur. À l'inverse des prévisions à valeur unique, comme les prévisions de séries temporelles médianes ou les prévisions quantiles, une prévision de probabilité représente une fonction de densité de probabilité. Les prévisions probabilistes peuvent s'appliquer à de nombreux domaines, des prévisions météorologiques aux paris sportifs, mais elles sont particulièrement utiles à l'optimisation logistique.

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Application à l'optimisation logistique

En logistique, ce sont les événements extrêmes qui sont à l'origine du plus gros des coûts, d'un point de vue statistique. Des niveaux de demande étonnamment hauts causent des ruptures de stock, tandis que des niveaux exceptionnellement bas ralentissent la rotation du stock et peuvent être à l'origine de stock mort, dans des cas extrêmes. Ainsi, une bonne évaluation des probabilités de tels événements négatifs est très importante pour équilibrer l'utilisation des ressources — le besoin en fonds de roulement dédié au stock notamment — et la qualité de service logistique.

Les prévisions à valeur unique ont tendance à se concentrer sur des situations moyennes ou médianes qui ne reflètent pas les cas extrêmes décrits ci-dessous. En effet, le problème ne vient pas de la qualité des prévisions — qui peuvent être plus ou moins exactes — mais de la définition des prévisions elles-mêmes : une prévision moyenne ne tient pas compte des événements extrêmes. La logistique essaye généralement de résoudre ce problème grâce à l'analyse du stock de sécurité. Mais cette dernière repose sur des hypothèses très fortes, comme la répartition normale de la demande, mais souvent incorrectes en ce qui concerne la logistique.

En revanche, les prévisions de demande probabilistes offrent la possibilité de mettre en œuvre des règles de commande avec ordre de priorité qui dépassent les règles de commande plus classiques car elles exploitent la structure détaillée des probabilités estimées pour la demande future.

Prévisions probabilistes appliquées aux séries temporelles

Les séries temporelles (ou chronologiques) représentent probablement le modèle le plus répandu en logistique. Dans la présente section, nous formalisons quelque peu la notion de prévisions probabilistes dans le cadre des séries temporelles. Prenons $\mathbf{y}_t$ pour vecteur de la demande passée examinée à l'instant $t$.

La demande future peut être modélisée à l'instant $t+h$, pour chaque horizon de prévision $h$, comme ceci : $$y_{t+h}=g_h(\mathbf{y}_t)+\epsilon_{t+h}$$
  • $g_h$ est un modèle de prévision spécifique de l'horizon $h$.
  • $\epsilon_{t+h}$ représente l'erreur du modèle.

Pour l'instant, $g_h$ n'est encore qu'un modèle de prévision à valeur unique. Cette définition peut être ajustée et devenir une prévision probabiliste en considérant la formule suivante : $$Y_{t+h}=G_h(\mathbf{y}_t)$$ $G$ ne renvoie pas une valeur unique $y_{t+h}$ mais une variable aléatoire $Y_{t+h}$ avec une répartition de densité explicite, c’est-à-dire $P(y_{t+h}\leq y | \mathbf{y}_t)$. Les prévisions probabilistes peuvent donc revenir à une estimation de la fonction de répartition, mais ce n'est pas le sujet du présent article.

Représentation pratique de prévisions probabilistes

D'un point de vue pratique, une prévision probabiliste $Y_{t+h}$ est généralement représentée via un histogramme dans lequel chaque classe représente une plage de possibles demandes futures, la hauteur des rectangles associés aux classes représentant la probabilité estimée que la demande prenne effectivement ces valeurs.

En dehors de toute hypothèse spécifique sur la répartition de la probabilité de la demande, les histogrammes amènent un degré d'approximation numérique en représentant cette dernière. En effet, de nombreuses répartitions de probabilité sont sans limite et des probabilités non-nulles sont trouvées pour des valeurs arbitrairement grandes. De telles distributions ne peuvent être représentées parfaitement avec un histogramme fini. De même, par construction, l'histogramme fait une moyenne de la répartition plus fine au sein de chaque classe.

Même si les histogrammes nécessitent des ressources de calcul plus importantes que les valeurs uniques (les prévisions non probabilistes), le calcul d'histogrammes pour des séries temporelles très grandes est tout à fait à la portée des systèmes informatiques actuels. Dans les faits, les histogrammes peuvent être conçus pour faire apparaître un nombre de plages suffisant pour garantir que l'imprécision numérique introduite en considérant la demande comme discrète soit négligeable en regard de l'incertitude des prévisions elles-mêmes.

L'approche Lokad

Le moteur de prévisions probabilistes de Lokad est dédié au calcul de prévisions probabilistes de la demande pour l'optimisation logistique. Il s'agit de la 4e génération des moteurs de prévisions Lokad.